લંબ અક્ષોનું પ્રમેય કયા પ્રકારના પદાર્થ માટે લાગુ પડે છે?

એક સમાન નળાકારની ત્રિજ્યા $R$ અને લંબાઈ $L$ છે. જો આ નળાકારની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના વર્તુળાકાર ફલકને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા જેટલી હોય,તો

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બે પાતળી સમતલીય વર્તુળાકાર તકતીઓ $A$ અને $B$ ને જોડીને એક દ્રઢ પદાર્થ બનાવવામાં આવે છે. તકતી $B$ ના સમતલને લંબ અને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને આ તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થશે ($Mr^2$ માં)?

$R$ ત્રિજ્યા અને $9M$ દળ ધરાવતી એક વર્તુળાકાર તકતીમાંથી,$\frac{R}{3}$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક નાની તકતીને કેન્દ્રમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે. જો દૂર કરેલી તકતીનું દળ $M$ હોય,તો બાકી રહેલી તકતીની તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થશે?

$M$ દળ,$L = 2R$ લંબાઈ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર નળાકારની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને નળાકારની અક્ષને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1$ છે,અને નળાકારના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને નળાકારની અક્ષને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2$ છે. તો:

$(a)$ લંબ અક્ષોના પ્રમેયને સાબિત કરો. (સૂચના: $x-y$ સમતલમાં આવેલા બિંદુ $(x, y)$ નું ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષથી અંતરનો વર્ગ $x^{2}+y^{2}$ છે)
$(b)$ સમાંતર અક્ષોના પ્રમેયને સાબિત કરો. (સૂચના: જો $n$ કણોની સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે,તો $\sum m_{i} r_{i}=0$)